八下期末复习系列——综合训练（5）

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【例】（1）在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

（2）如图2，已知正方形ABCD，△AEF是正方形ABCD的内接等边三角形，请你找出S_△ABE、S_△ADF、S_△CEF之间的数量关系，并说明理由．

【解析】

（1）简析：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，构造“全等”，如下图示：

      得到△ABE≌△ADG，从而AG＝AE，且∠BAE＝∠DAG，进一步得到∠BAD＝∠CAE＝120⁰，又∠EAF＝60⁰，所以∠EAF＝∠GAF.

      回到△EAF和△GAF中，不难证明（SAS）这两个三角形全等，如下图示：

      得到EF＝FG，而FG＝DF+DG＝DF＝BE，所以线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+FD=EF.

（本质上，就是通过“旋转”构造“全等”——虽为九年级的内容，但旋转前后的对应元素相等，不难理解。万不可受“模型套路——所谓的半角模型”影响，此法可用于任何情况（也就是不论是否存在“半角”，均可实用，只要具备“线段相等”情况），是通法，也可以说是万能的，是基本思路，也是最基本图形的变换而变化得到的。若老想“模型套路”势必造成思维的发展.）

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（2）原题呈现：如图2，已知正方形ABCD，△AEF是正方形ABCD的内接等边三角形，请你找出S_△ABE、S_△ADF、S_△CEF之间的数量关系，并说明理由．

      此时没有“半角”了，但旋转可是万能，它可以将相关的条件进行“汇总“和”联系“，是”沟通“的桥梁。如下图示：

      通过上述阴影部分的两三角形全等，不难得到以下结论：

      这样S_△ABE+S_△ADF＝S_△AFG，成功进行转化，接下来只能找到S_△AFG和S_△CEF间的关系即可。

      本题的背景是正方形和等边三角形，显然图中存在着非常多的线段间的相等（或倍分）关系，为此常用字母表示这些相等（或倍分）的量，然后通过计算得到相关结论。如下图示：

显然通过HL可以证明△ABE≌△ADF，设等边三角形边长为2a（计算方便）

由三角形的面积公式，可得：

S_△CEF＝0.5CE×CF＝…=a²,

S_△AFG＝0.5×AG×FH＝…=a²,

所以S_△CEF＝S_△AFG，

即S_△CEF=S_△ABE+S_△ADF.

【点评】解决问题的关键是通过“旋转“构造全等三角形．

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【拓展1】若将等边三角形AEF改一般的等腰三角形呢？如：sin∠EAF=3/5，且AE＝AF.（试试看！）